В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол АВС>60. На серединах сторон АВ, ВС и АС взяты точки F. K и D. Точка М симметрична точке В относительно прямой АК. А точка Е — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую CF. Докажите, что луч КМ является биссектрисой угла ЕКМ.

Решение:

1. Обозначим точки: пусть F — середина AB, K — середина BC, D — середина AC.
2. Угол ACB равен углу ABC, так как треугольник ABC равнобедренный. Угол ABC > 60 градусов, следовательно, угол ACB также больше 60 градусов.
3. Поскольку M — симметричная точка B относительно прямой AK, то угол AMK равен углу ABK.
4. Поскольку D — середина AC, то прямая KD является медианой треугольника ABC, и угол KDA равен углу KDC.
5. Рассмотрим треугольник BCF. Поскольку F — середина AB, то BF = FA. Аналогично, K — середина BC, следовательно, BK = KC.
6. Поскольку E — основание перпендикуляра из B на CF, то угол BEF равен 90 градусов.
7. Чтобы доказать, что луч KM является биссектрисой угла EKM, нужно показать, что угол EKM равен углу KME.
8. Угол EKM равен углу ABK, а угол KME равен углу AMK, так как M — симметричная точка B относительно AK.
9. Поскольку угол ABK равен углу AMK, то угол EKM равен углу KME.
10. Таким образом, луч KM является биссектрисой угла EKM.

Следовательно, доказано, что луч KM является биссектрисой угла EKM.