Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника АВС: AB = AC = x, BC = y.
2. Поскольку BK — медиана, то K — середина стороны AC, следовательно, AK = KC = x/2.
3. В треугольнике BKC по формуле периметра имеем: BK + KC + BC = 24 см.
4. Подставим известные значения: 6 + x/2 + y = 24.
5. Упростим уравнение: x/2 + y = 24 — 6 = 18, то есть x/2 + y = 18.
6. Умножим уравнение на 2: x + 2y = 36. (Уравнение 1)
7. Теперь найдем периметр треугольника АВС: P = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y.
8. Из уравнения 1 выразим y: y = 36 — x.
9. Подставим y в формулу периметра: P = 2x + (36 — x) = 2x + 36 — x = x + 36.
10. Теперь нам нужно найти x. Мы знаем, что BK = 6 см, и можем использовать свойства равнобедренного треугольника.
11. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины, делит основание пополам и является медианой. Поскольку BK — медиана, то треугольник BKC также равнобедренный.
12. Так как BK = 6 см, то по теореме о медиане: BK^2 = (AB^2 + AC^2)/4 — (BC^2)/4.
13. Подставим известные значения: 6^2 = (x^2 + x^2)/4 — (y^2)/4.
14. Упростим: 36 = (2x^2)/4 — (y^2)/4, то есть 36 = (x^2 — y^2)/4.
15. Умножим на 4: 144 = x^2 — y^2.
16. Подставим y = 36 — x в уравнение: 144 = x^2 — (36 — x)^2.
17. Раскроем скобки: 144 = x^2 — (1296 — 72x + x^2).
18. Упростим: 144 = 72x — 1296.
19. Переносим 1296: 72x = 144 + 1296 = 1440.
20. Разделим на 72: x = 20 см.
21. Теперь подставим x в y: y = 36 — 20 = 16 см.
22. Периметр треугольника АВС: P = 2x + y = 2*20 + 16 = 40 + 16 = 56 см.
Ответ: Периметр треугольника АВС равен 56 см.