Решение:
1. Обозначим точки тетраэдра: D, A, B, C.
2. Определим середины ребер: K — середина AD, M — середина DB, N — середина BC, L — середина AC.
3. Для доказательства, что KMLN — параллелограмм, нужно показать, что векторы KM и LN равны, или что векторы KL и MN равны.
4. Запишем векторы:
— Вектор KM = M — K
— Вектор LN = N — L
5. Найдем координаты точек K, M, N и L:
— K = (A + D) / 2
— M = (D + B) / 2
— N = (B + C) / 2
— L = (A + C) / 2
6. Теперь найдем векторы KM и LN:
— KM = M — K = [(D + B) / 2] — [(A + D) / 2] = (B — A) / 2
— LN = N — L = [(B + C) / 2] — [(A + C) / 2] = (B — A) / 2
7. Мы видим, что KM = LN, следовательно, стороны KM и LN равны.
8. Поскольку противоположные стороны равны, KMLN является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что KMLN — параллелограмм.