Решение:
1. Обозначим площади треугольников KPM и NPD как S1 и S2 соответственно.
2. Заметим, что треугольники KPM и NPD имеют общую высоту, проведенную из точки P на основание KD (или MN).
3. Поскольку KD и MN — основания трапеции, то они параллельны. Это означает, что высота, проведенная из точки P на основание KD, будет равна высоте, проведенной из точки P на основание MN.
4. Площадь треугольника KPM можно выразить как S1 = (1/2) * KM * h1, где h1 — высота, проведенная из точки P на линию MN.
5. Площадь треугольника NPD можно выразить как S2 = (1/2) * ND * h2, где h2 — высота, проведенная из точки P на линию KD.
6. Так как KD и MN параллельны, и точки K и N находятся на одной прямой, а точки M и D на другой, высоты h1 и h2 равны.
7. Таким образом, S1 и S2 зависят от длины оснований KM и ND, но высоты одинаковы.
8. Поскольку основание KM и ND равны (так как это стороны трапеции), площади S1 и S2 равны.
9. Следовательно, S1 = S2, что означает, что площади треугольников KPM и NPD равны.
Таким образом, мы доказали, что площади треугольников KPM и NPD равны.