Решение:
1. Даны стороны треугольника: AB = 16, BC = 10 и угол A = 45 градусов.
2. Используем закон синусов, который гласит: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C), где a, b, c — стороны треугольника, а A, B, C — противолежащие углы.
3. Обозначим стороны: a = BC = 10, b = AC, c = AB = 16, угол A = 45 градусов.
4. Найдем сторону AC (b) с помощью косинусного закона: c^2 = a^2 + b^2 — 2ab * cos(A).
5. Подставим известные значения: 16^2 = 10^2 + b^2 — 2 * 10 * b * cos(45).
6. Вычислим: 256 = 100 + b^2 — 10 * b * (sqrt(2)/2).
7. Упростим уравнение: 256 = 100 + b^2 — 5 * sqrt(2) * b.
8. Переносим все в одну сторону: b^2 — 5 * sqrt(2) * b + 100 — 256 = 0.
9. Упростим: b^2 — 5 * sqrt(2) * b — 156 = 0.
10. Решим квадратное уравнение для b с помощью дискриминанта: D = (5 * sqrt(2))^2 — 4 * 1 * (-156).
11. Вычислим D: D = 50 + 624 = 674.
12. Найдем корни уравнения: b = (5 * sqrt(2) ± sqrt(674)) / 2.
13. Теперь, используя закон синусов, найдем sin(C): sin(C) = a * sin(A) / c.
14. Подставим значения: sin(C) = 10 * sin(45) / 16.
15. Зная, что sin(45) = sqrt(2)/2, получаем: sin(C) = 10 * (sqrt(2)/2) / 16.
16. Упростим: sin(C) = 10 * sqrt(2) / 32 = (5 * sqrt(2)) / 16.
Ответ: sin(C) = (5 * sqrt(2)) / 16.