Решение:
1. Используем теорему о биссектрисе, которая гласит, что отношение отрезков, на которые делит биссектрисы стороны треугольника, равно отношению прилежащих сторон.
2. Для биссектрисы AD в треугольнике ABC, которая делит сторону BC на отрезки BX и XC, имеем:
BX / XC = AB / AC = 13 / 15.
3. Обозначим BX = 13k и XC = 15k для некоторого k. Тогда BC = BX + XC = 13k + 15k = 28k.
4. Поскольку BC = 14, получаем 28k = 14, откуда k = 14 / 28 = 0.5.
5. Теперь подставим значение k в выражения для BX и XC:
BX = 13k = 13 * 0.5 = 6.5,
XC = 15k = 15 * 0.5 = 7.5.
6. Теперь рассмотрим биссектрису BE, которая делит сторону AC на отрезки AX и XC. По аналогии:
AX / CX = AB / BC = 13 / 14.
7. Обозначим AX = 13m и CX = 14m для некоторого m. Тогда AC = AX + CX = 13m + 14m = 27m.
8. Поскольку AC = 15, получаем 27m = 15, откуда m = 15 / 27 = 5 / 9.
9. Теперь подставим значение m в выражения для AX и CX:
AX = 13m = 13 * (5 / 9) = 65 / 9,
CX = 14m = 14 * (5 / 9) = 70 / 9.
10. Теперь найдем отношение DX : AX. Поскольку DX = XC, то DX = 7.5 = 15 / 2, а AX = 65 / 9.
11. Теперь находим отношение DX : AX:
DX : AX = (15 / 2) : (65 / 9) = (15 / 2) * (9 / 65) = (15 * 9) / (2 * 65) = 135 / 130 = 27 / 26.
Ответ: DX : AX = 27 : 26.