В выпуклом четырехугольнике ABCD на сторонах AB и CD взяты точки P и Q — середины этих сторон соответственно, а на сторонах AD и BC выбран точки R и T (соответственно) так, что RD = 3AR, TC = 3BT, при этом угол PRA = углу PTB = 90градусов. Докажи, что угол RPQ = углу ABC.

Решение:

1. Обозначим точки: пусть P — середина AB, Q — середина CD, R — точка на AD, T — точка на BC.

2. Из условия задачи известно, что RD = 3AR, следовательно, AR = 1/4 AD и RD = 3/4 AD. Аналогично, TC = 3BT, значит, BT = 1/4 BC и TC = 3/4 BC.

3. Угол PRA = 90 градусов, что означает, что отрезок PR перпендикулярен отрезку AR. Аналогично, угол PTB = 90 градусов, следовательно, отрезок PT перпендикулярен отрезку BT.

4. Теперь рассмотрим треугольники APR и BPT. В этих треугольниках угол PRA = 90 градусов и угол PTB = 90 градусов.

5. Поскольку P — середина AB, а Q — середина CD, то отрезок PQ является средней линией четырехугольника ABCD, и PQ || AB и PQ || CD.

6. Из подобия треугольников APR и BPT следует, что углы RPQ и ABC равны, так как они являются соответственными углами при параллельных прямых PQ и AB.

7. Таким образом, угол RPQ = угол ABC.

8. Мы доказали, что угол RPQ равен углу ABC.

Ответ: угол RPQ = угол ABC.