Решение:
1. В треугольнике ABC угол ABC прямой, следовательно, BE — высота, и треугольник ABE является прямоугольным.
2. Обозначим FC как x. Тогда AC = AF + FC = 8 + x.
3. В треугольнике ABE по теореме Пифагора можно записать: AB^2 = AF^2 + BE^2. Подставим известные значения: 28^2 = 8^2 + BE^2.
4. Вычислим: 784 = 64 + BE^2.
5. Найдем BE^2: BE^2 = 784 — 64 = 720. Следовательно, BE = sqrt(720) = 12sqrt(5).
6. Теперь рассмотрим треугольник BEC. Угол ACD также прямой, значит, треугольник BEC тоже прямоугольный.
7. В треугольнике BEC по теореме Пифагора: BC^2 = BE^2 + EC^2. Обозначим EC как y. Тогда BC = AF + FC = 8 + x.
8. Подставим значения: (8 + x)^2 = (12sqrt(5))^2 + y^2.
9. Упростим: (8 + x)^2 = 720 + y^2.
10. Теперь у нас есть два уравнения:
— 1) AC = 8 + x
— 2) (8 + x)^2 = 720 + y^2.
11. Поскольку угол ACD прямой, то AC и BE перпендикулярны, и мы можем использовать подобие треугольников.
12. Из подобия треугольников ABE и CBE следует, что AF/FC = AB/BE.
13. Подставим известные значения: 8/x = 28/(12sqrt(5)).
14. Перепишем уравнение: 8 * 12sqrt(5) = 28 * x.
15. Найдем x: x = (8 * 12sqrt(5)) / 28 = (96sqrt(5)) / 28 = (24sqrt(5)) / 7.
16. Таким образом, FC = (24sqrt(5)) / 7.
Ответ: FC = (24sqrt(5)) / 7.