Решение:
1. Сначала найдем длину стороны AB, которая будет основанием для высоты, проведенной из вершины C. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2):
d = sqrt((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2).
Подставим координаты точек A(3/2, 1) и B(1, 5/3):
x1 = 3/2, y1 = 1, x2 = 1, y2 = 5/3.
d(AB) = sqrt((1 — 3/2)^2 + (5/3 — 1)^2)
= sqrt((-1/2)^2 + (5/3 — 3/3)^2)
= sqrt((1/4) + (2/3)^2)
= sqrt((1/4) + (4/9))
= sqrt((9/36) + (16/36))
= sqrt(25/36)
= 5/6.
Таким образом, длина стороны AB равна 5/6.
2. Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин:
S = (1/2) * |x1(y2 — y3) + x2(y3 — y1) + x3(y1 — y2)|,
где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) — координаты вершин A, B и C соответственно.
Подставим координаты A(3/2, 1), B(1, 5/3), C(3, 3):
S = (1/2) * |(3/2)(5/3 — 3) + (1)(3 — 1) + (3)(1 — 5/3)|
= (1/2) * |(3/2)(-4/3) + 2 + (3)(-2/3)|
= (1/2) * |(-2) + 2 — 2|
= (1/2) * |(-2)|
= 1.
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 1.
3. Теперь, зная площадь треугольника и длину основания AB, можем найти высоту h, проведенную из вершины C. Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:
S = (1/2) * основание * высота,
где основание — это длина стороны AB.
Подставим известные значения:
1 = (1/2) * (5/6) * h.
4. Упростим уравнение для нахождения h:
1 = (5/12) * h,
h = 1 / (5/12) = 12/5.
Таким образом, длина высоты, проведенной из вершины C, равна 12/5.