Решение:
1. Запишем уравнение: |x + 2| + |x + 4| = 5x — 20.
2. Определим случаи для абсолютных значений. У нас есть два выражения: |x + 2| и |x + 4|. Найдем точки, где они равны нулю:
— x + 2 = 0 => x = -2
— x + 4 = 0 => x = -4
3. Разделим числовую ось на три интервала: (-∞, -4), [-4, -2), [-2, +∞).
4. Рассмотрим каждый интервал отдельно.
— **Интервал 1: x < -4**
Здесь |x + 2| = -(x + 2) и |x + 4| = -(x + 4).
Уравнение становится: -(x + 2) - (x + 4) = 5x - 20.
Упрощаем: -2x - 6 = 5x - 20.
Переносим все x в одну сторону: -2x - 5x = -20 + 6.
Получаем: -7x = -14 => x = 2.
Но 2 не принадлежит интервалу (-∞, -4).
— **Интервал 2: -4 ≤ x < -2**
Здесь |x + 2| = -(x + 2) и |x + 4| = x + 4.
Уравнение становится: -(x + 2) + (x + 4) = 5x - 20.
Упрощаем: -x - 2 + x + 4 = 5x - 20.
Получаем: 2 = 5x - 20 => 5x = 22 => x = 4.4.
Но 4.4 не принадлежит интервалу [-4, -2).
— **Интервал 3: x ≥ -2**
Здесь |x + 2| = x + 2 и |x + 4| = x + 4.
Уравнение становится: (x + 2) + (x + 4) = 5x — 20.
Упрощаем: 2x + 6 = 5x — 20.
Переносим все x в одну сторону: 2x — 5x = -20 — 6.
Получаем: -3x = -26 => x = 26/3 ≈ 8.67.
Это значение принадлежит интервалу x ≥ -2.
5. Проверим найденное значение x = 26/3 в исходном уравнении:
|26/3 + 2| + |26/3 + 4| = 5(26/3) — 20.
|32/3| + |38/3| = 130/3 — 60.
32/3 + 38/3 = 130/3 — 180/3.
70/3 = -50/3 (неверно).
6. Поскольку ни одно из значений не подошло, уравнение не имеет решений.
Ответ: Уравнение не имеет решений.