Решим задачу по шагам.
### Шаг 1: Находим координаты векторов AC и BC
**Вектор AC:**
Координаты точки C: (2, -5, 4)
Координаты точки A: (-5, -2, -6)
Вычтем координаты точки A из координат точки C:
AC = C — A = (2 — (-5), -5 — (-2), 4 — (-6))
AC = (2 + 5, -5 + 2, 4 + 6)
AC = (7, -3, 10)
**Вектор BC:**
Координаты точки B: (3, 4, 5)
Координаты точки C: (2, -5, 4)
Вычтем координаты точки B из координат точки C:
BC = C — B = (2 — 3, -5 — 4, 4 — 5)
BC = (-1, -9, -1)
### Шаг 2: Находим вектор a, который равен AC — BC
Вектор a = AC — BC = (7, -3, 10) — (-1, -9, -1)
Теперь вычтем координаты вектора BC из AC:
a = (7 — (-1), -3 — (-9), 10 — (-1))
a = (7 + 1, -3 + 9, 10 + 1)
a = (8, 6, 11)
### Шаг 3: Находим модуль вектора a
Модуль вектора a = ||a|| = sqrt(8^2 + 6^2 + 11^2)
= sqrt(64 + 36 + 121)
= sqrt(221)
### Шаг 4: Находим вектор AB
AB = B — A = (3, 4, 5) — (-5, -2, -6)
AB = (3 — (-5), 4 — (-2), 5 — (-6))
AB = (3 + 5, 4 + 2, 5 + 6)
AB = (8, 6, 11)
### Шаг 5: Находим скалярное произведение векторов a и b (где b = AB)
Скалярное произведение a и b:
a * b = 8 * 8 + 6 * 6 + 11 * 11
= 64 + 36 + 121
= 221
### Шаг 6: Находим проекцию вектора c на вектор d
Здесь вектор c = AB и вектор d = AC.
Для нахождения проекции вектора c (AB) на вектор d (AC) используем формулу:
proj_d(c) = (c * d / ||d||^2) * d
Сначала найдем ||d||:
d = AC = (7, -3, 10)
||d|| = sqrt(7^2 + (-3)^2 + 10^2)
= sqrt(49 + 9 + 100)
= sqrt(158)
Теперь найдем скалярное произведение c и d:
c * d = AB * AC = (8, 6, 11) * (7, -3, 10)
= 8 * 7 + 6 * (-3) + 11 * 10
= 56 — 18 + 110
= 148
Теперь подставим все в формулу проекции:
proj_d(c) = (148 / 158) * AC
= (148 / 158) *