Задача: На плоскости находятся четыре точки: A, B, C и D. Прямые, проходящие через точки A и C, а также B и D, пересекаются в точке M. Известно, что отрезки AC и BD равны между собой. Определите, пропорциональны ли отрезки AM и MC и отрезки BM и MD. Если да, то укажите, каким образом это можно доказать, используя свойства пропорциональных отрезков и основной теоремы о пропорциональных отрезках.

Для решения задачи будем использовать свойства пропорциональных отрезков, а также геометрические факты о пересечении прямых.

1. **Сделаем предположение**: Пусть отрезки AC и BD равны по длине. Обозначим длины этих отрезков как L, то есть AC = BD = L.

2. **Пусть M – точка пересечения прямых AC и BD**. Мы должны выяснить, пропорциональны ли отрезки AM и MC к отрезкам BM и MD.

3. **Запишем обозначения**:
— AM = x
— MC = L — x (так как AC = AM + MC)
— BM = y
— MD = L — y (так как BD = BM + MD)

4. **Теперь возьмем отношение отрезков AM и MC**:
AM / MC = x / (L — x).

5. **И отношение отрезков BM и MD**:
BM / MD = y / (L — y).

6. **Применим теорему о пропорциональных отрезках**: так как прямые AC и BD пересекаются в точке M, мы можем использовать свойство подобия треугольников.

7. **Доказательство**:
— Треугольники ABM и CDM имеют общую высоту, проведенную из точки M, так как M – точка пересечения.
— В этих треугольниках, отрезки на основании (AM и MB) пропорциональны отрезкам на другом основании (MC и MD), так как:
(AM / MC) = (BM / MD).
— Это следует из вертикальных углов и свойств подобия.

8. **Заключение**: Таким образом, отрезки AM и MC действительно пропорциональны отрезкам BM и MD. Этот факт можно сформулировать как:
AM / MC = BM / MD.

Таким образом, ответ на задачу: да, отрезки AM и MC пропорциональны отрезкам BM и MD. Доказательство основывается на свойствах подобия треугольников и основной теореме о пропорциональных отрезках.