Для нахождения проекции точки P(-6, 4) на прямую, заданную уравнением 4x — 5y + 3 = 0, следуем следующим шагам:
1. **Записать уравнение прямой в общем виде**:
Уравнение прямой у нас уже есть: 4x — 5y + 3 = 0.
2. **Определить нормальный вектор**:
Нормальный вектор (n) к данной прямой можно взять из коэффициентов при x и y в уравнении Ax + By + C = 0. В нашем случае A = 4, B = -5. Таким образом, нормальный вектор будет n = (4, -5).
3. **Найти уравнение перпендикуляра**:
Перпендикулярная прямая проходит через точку P(-6, 4) и имеет направляющий вектор, равный нормальному вектору прямой, т.е. (4, -5). Уравнение прямой, проходящей через точку P с направляющим вектором (4, -5):
(y — 4) = -5/4 * (x + 6).
Упростим это уравнение:
y — 4 = -5/4 * x — 15/4
y = -5/4 * x — 15/4 + 16/4
y = -5/4 * x + 1/4.
4. **Найти точку пересечения**:
Находим точку пересечения перпендикуляра и исходной прямой. Подставим y из уравнения перпендикуляра в уравнение прямой:
4x — 5(-5/4 * x + 1/4) + 3 = 0.
Раскроем скобки:
4x + 25/4 * x — 5/4 + 3 = 0.
Приведем все к общему знаменателю 4:
16x + 25x — 5 + 12 = 0.
41x + 7 = 0.
41x = -7.
x = -7/41.
5. **Найти y-координату**:
Подставим x обратно в любое из уравнений (например, в уравнение перпендикуляра):
y = -5/4 * (-7/41) + 1/4.
y = (35/164) + (41/164) = 76/164 = 38/82 = 19/41.
6. **Таким образом, координаты проекции точки P(-6, 4) на прямую**:
Проекция точки P на прямую будет в точке (-7/41, 19/41).
Итак, проекция точки P(-6, 4) на прямую 4x — 5y + 3 = 0 имеет координаты (-7/41, 19/41).