Чтобы найти уравнение окружности, проходящей через три заданные точки A (0; 1), B (2; 0) и C (3; -1), следуем следующим шагам:
**Шаг 1: Записываем уравнение окружности.**
Уравнение окружности в стандартной форме выглядит так:
(x — h)² + (y — k)² = r²,
где (h; k) — координаты центра окружности, а r — радиус.
**Шаг 2: Составляем систему уравнений.**
Подставим координаты каждой из трех точек в уравнение окружности. Это даст нам три уравнения:
1. Для точки A (0; 1):
(0 — h)² + (1 — k)² = r²
=> h² + (1 — k)² = r²
2. Для точки B (2; 0):
(2 — h)² + (0 — k)² = r²
=> (2 — h)² + k² = r²
3. Для точки C (3; -1):
(3 — h)² + (-1 — k)² = r²
=> (3 — h)² + (-1 — k)² = r²
**Шаг 3: Убираем r².**
Теперь мы имеем три уравнения в общем виде, из которых мы можем выразить r². Приравняем первое и второе уравнения:
h² + (1 — k)² = (2 — h)² + k².
Решим это уравнение:
h² + (1 — 2k + k²) = (4 — 4h + h²) + k²
h² + 1 — 2k + k² = 4 — 4h + h² + k²
Сокращаем h² и k²:
1 — 2k = 4 — 4h.
Теперь выразим k через h:
2k = 4 + 4h — 1
=> 2k = 3 + 4h
=> k = (3 + 4h)/2.
**Шаг 4: Подставляем k в другое уравнение.**
Теперь подставим найденное значение k в уравнение с координатами точки C. Приравняем первое и третье уравнения:
h² + (1 — ((3 + 4h)/2))² = (3 — h)² + ((-1 — (3 + 4h)/2))².
Большая часть работы в алгебре будет заключаться в упрощении. Однако, проще будет использовать определение отрезков.
**Шаг 5: Используем определитель для нахождения центра окружности.**
Для нахождения центра окружности через точки A, B и C используется формула:
h = |D/2A| и k = |E/2A|, где:
А — определитель, состоящий из координат и 1,
D и E — определители с дополнительными координатами.
Найдем определения:
D = | x1^2 + y1^2 y1 1 |
| x2^2 + y2^2 y2 1 |
| x3^2 + y3^2 y3 1 |
D = | 0^2 + 1^2 1 1 |
| 2^2 + 0^2 0 1 |
| 3^2 + (-1)^2 -1 1 |
= | 1 1 1 |
|