Решение:
1. Начнем с уравнения: 10sin^2(x) + 17cos(x) — 16 = 0.
Мы знаем, что sin^2(x) = 1 — cos^2(x). Подставим это в уравнение.
2. Подставим sin^2(x) в уравнение:
10(1 — cos^2(x)) + 17cos(x) — 16 = 0.
3. Раскроем скобки:
10 — 10cos^2(x) + 17cos(x) — 16 = 0.
4. Упростим уравнение:
-10cos^2(x) + 17cos(x) — 6 = 0.
5. Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:
10cos^2(x) — 17cos(x) + 6 = 0.
6. Теперь у нас квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) как t:
10t^2 — 17t + 6 = 0.
7. Используем формулу для решения квадратного уравнения t = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / (2a), где a = 10, b = -17, c = 6:
b^2 — 4ac = (-17)^2 — 4 * 10 * 6 = 289 — 240 = 49.
8. Теперь подставим значения в формулу:
t = (17 ± √49) / (2 * 10) = (17 ± 7) / 20.
9. Найдем два значения для t:
t1 = (17 + 7) / 20 = 24 / 20 = 1.2 (это значение не подходит, так как cos(x) не может быть больше 1).
t2 = (17 — 7) / 20 = 10 / 20 = 0.5.
10. Теперь мы имеем cos(x) = 0.5. Найдем x:
cos(x) = 0.5, значит x = π/3 + 2kπ или x = -π/3 + 2kπ, где k — целое число.
11. Запишем окончательный ответ:
x = π/3 + 2kπ или x = -π/3 + 2kπ, где k ∈ Z.