Решение:
1. Начнем с уравнения: 2cos(x/2) * cos(π/5) — 2sin(x/2) * sin(π/5) = -√2.
2. Применим формулу косинуса разности:
2cos(A)cos(B) — 2sin(A)sin(B) = 2(cos(A)cos(B) — sin(A)sin(B)) = 2cos(A + B).
В нашем случае A = x/2 и B = π/5. Таким образом, уравнение можно переписать как:
2cos(x/2 + π/5) = -√2.
3. Разделим обе стороны уравнения на 2:
cos(x/2 + π/5) = -√2 / 2.
4. Теперь найдем углы, для которых косинус равен -√2/2. Это происходит при:
x/2 + π/5 = 3π/4 + 2kπ и x/2 + π/5 = 5π/4 + 2kπ, где k — целое число.
5. Решим первое уравнение:
x/2 + π/5 = 3π/4 + 2kπ.
Выразим x:
x/2 = 3π/4 — π/5 + 2kπ.
Приведем к общему знаменателю:
3π/4 = 15π/20 и π/5 = 4π/20.
Тогда:
x/2 = (15π/20 — 4π/20) + 2kπ = 11π/20 + 2kπ.
Умножим на 2:
x = 22π/20 + 4kπ = 11π/10 + 4kπ.
6. Теперь решим второе уравнение:
x/2 + π/5 = 5π/4 + 2kπ.
Выразим x:
x/2 = 5π/4 — π/5 + 2kπ.
Приведем к общему знаменателю:
5π/4 = 25π/20 и π/5 = 4π/20.
Тогда:
x/2 = (25π/20 — 4π/20) + 2kπ = 21π/20 + 2kπ.
Умножим на 2:
x = 42π/20 + 4kπ = 21π/10 + 4kπ.
7. Таким образом, общее решение уравнения:
x = 11π/10 + 4kπ и x = 21π/10 + 4kπ, где k — целое число.