Решение:
1. Начнем с уравнения: 4 + log2(x^2) = logx(64).
2. Преобразуем логарифм log2(x^2):
log2(x^2) = 2 * log2(x).
Подставим это в уравнение:
4 + 2 * log2(x) = logx(64).
3. Теперь преобразуем правую часть уравнения logx(64):
logx(64) = log2(64) / log2(x).
Поскольку 64 = 2^6, то log2(64) = 6.
Таким образом, logx(64) = 6 / log2(x).
4. Теперь у нас есть уравнение:
4 + 2 * log2(x) = 6 / log2(x).
5. Обозначим log2(x) как y. Тогда уравнение примет вид:
4 + 2y = 6 / y.
6. Умножим обе стороны на y, чтобы избавиться от дроби:
y(4 + 2y) = 6.
7. Раскроем скобки:
4y + 2y^2 = 6.
8. Переносим все в одну сторону:
2y^2 + 4y — 6 = 0.
9. Упростим уравнение, разделив все на 2:
y^2 + 2y — 3 = 0.
10. Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:
y = (-b ± sqrt(b^2 — 4ac)) / 2a,
где a = 1, b = 2, c = -3.
11. Подставим значения:
y = (-2 ± sqrt(2^2 — 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)
= (-2 ± sqrt(4 + 12)) / 2
= (-2 ± sqrt(16)) / 2
= (-2 ± 4) / 2.
12. Найдем два возможных значения для y:
1) y1 = (2) / 2 = 1,
2) y2 = (-6) / 2 = -3.
13. Теперь вернемся к log2(x):
1) Если y = 1, то log2(x) = 1, значит x = 2^1 = 2.
2) Если y = -3, то log2(x) = -3, значит x = 2^(-3) = 1/8.
14. Проверим оба значения x в исходном уравнении:
1) Для x = 2:
4 + log2(2^2) = log2(64)
4 + 2 = 6, верно.
2) Для x = 1/8:
4 + log2((1/8)^2) = log(1/8)(64)
4 + log2(1/64) = log(1/8)(64)
4 — 6 = -2, а log(1/8)(64) = -2, верно.
15. Таким образом, оба значения x = 2 и x = 1/8 являются решениями.
Ответ: x = 2 и x = 1/8.