Решение:
1. Начнем с неравенства: 9x² < 1 - 6x. 2. Переносим все члены на одну сторону неравенства, чтобы получить стандартный вид: 9x² + 6x - 1 < 0. 3. Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: 9x² + 6x - 1 = 0. 4. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a, где a = 9, b = 6, c = -1. 5. Сначала вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4 * 9 * (-1) = 36 + 36 = 72. 6. Теперь находим корни: x1 = (-6 + √72) / (2 * 9) и x2 = (-6 - √72) / (2 * 9). 7. Упростим корни: √72 = √(36 * 2) = 6√2, тогда x1 = (-6 + 6√2) / 18 = (-1 + √2) / 3, x2 = (-6 - 6√2) / 18 = (-1 - √2) / 3. 8. Теперь у нас есть два корня: x1 = (-1 + √2) / 3 и x2 = (-1 - √2) / 3. 9. Далее, определим знаки выражения 9x² + 6x - 1 на интервалах, определяемых корнями. Интервалы: (-∞, x2), (x2, x1), (x1, +∞). 10. Выберем тестовые точки из каждого интервала: - Для интервала (-∞, x2) возьмем x = -2. - Для интервала (x2, x1) возьмем x = 0. - Для интервала (x1, +∞) возьмем x = 1. 11. Подставим тестовые точки в выражение 9x² + 6x - 1 и определим знак: - Для x = -2: 9(-2)² + 6(-2) - 1 = 36 - 12 - 1 = 23 (положительное). - Для x = 0: 9(0)² + 6(0) - 1 = -1 (отрицательное). - Для x = 1: 9(1)² + 6(1) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 (положительное). 12. Теперь мы знаем, что: - На интервале (-∞, x2) выражение положительное. - На интервале (x2, x1) выражение отрицательное. - На интервале (x1, +∞) выражение положительное. 13. Поскольку нас интересует, где 9x² + 6x - 1 < 0, то решение неравенства: x ∈ (x2, x1). 14. Подставим значения корней: x ∈ ((-1 - √2) / 3, (-1 + √2) / 3). 15. Это и есть окончательный ответ. Ответ: x ∈ ((-1 - √2) / 3, (-1 + √2) / 3).