Решение:
1. **Определим объем правильной треугольной призмы.** Объем V призмы можно найти по формуле:
V = S * h,
где S — площадь основания, h — высота (длина бокового ребра).
2. **Подставим известные значения.** Площадь основания S = 12, высота h = 9.
V = 12 * 9 = 108.
3. **Теперь найдем объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A₁, B₁, C₁.** Этот многогранник представляет собой пирамиду с основанием AC и вершиной A₁.
4. **Найдем площадь основания пирамиды.** Основание AC — это отрезок, который соединяет точки A и C. Поскольку ABC — правильный треугольник, длина стороны равна:
a = sqrt(4 * S / sqrt(3)) = sqrt(4 * 12 / sqrt(3)) = sqrt(48 / sqrt(3)) = sqrt(16 * sqrt(3)) = 4 * sqrt(3).
5. **Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:**
S_ABC = (a^2 * sqrt(3)) / 4,
где a — длина стороны треугольника.
6. **Подставим значение a:**
S_ABC = ( (4 * sqrt(3))^2 * sqrt(3) ) / 4 = (48 * sqrt(3)) / 4 = 12 * sqrt(3).
7. **Теперь найдем объем пирамиды.** Объем V_пирамида можно найти по формуле:
V_пирамида = (1/3) * S_основания * h,
где S_основания — площадь основания, h — высота (в данном случае это расстояние от A₁ до плоскости ABC).
8. **Высота пирамиды равна длине бокового ребра, то есть h = 9.**
9. **Теперь подставим значения в формулу:**
V_пирамида = (1/3) * (12 * sqrt(3)) * 9 = (1/3) * 108 * sqrt(3) = 36 * sqrt(3).
10. **Таким образом, объем многогранника, вершинами которого являются точки A, C, A₁, B₁, C₁, равен 36 * sqrt(3).**
Ответ: 36 * sqrt(3).