Решение:
Для нахождения композиции g(f(x)), сначала нужно определить, как f(x) ведет себя в зависимости от значения x, а затем подставить результат в g(x).
1. Рассмотрим функцию f(x):
— Если x < -1, то f(x) = -2x.
- Если -1 <= x < 1, то f(x) = x^3.
- Если x = 1, то f(x) = 1.
2. Теперь найдем g(f(x)) для каждого случая.
**Случай 1: x < -1**
- Здесь f(x) = -2x.
- Подставим это в g: g(f(x)) = g(-2x).
- Поскольку -2x < -1 для x < -1, используем первую часть определения g:
g(-2x) = (-2x)^3 + 2 = -8x^3 + 2.
**Случай 2: -1 <= x < 1**
- Здесь f(x) = x^3.
- Подставим это в g: g(f(x)) = g(x^3).
- Поскольку -1 <= x < 1, то x^3 также будет находиться в пределах от -1 до 1 (так как x^3 - это непрерывная функция и принимает значения от -1 до 1 в этом интервале).
- Используем вторую часть определения g:
g(x^3) = (x^3)^2 = x^6.
**Случай 3: x = 1**
- Здесь f(x) = 1.
- Подставим это в g: g(f(x)) = g(1).
- Используем третью часть определения g:
g(1) = 1.
Теперь мы можем записать результат для g(f(x)) в зависимости от x:
- Если x < -1, то g(f(x)) = -8x^3 + 2.
- Если -1 <= x < 1, то g(f(x)) = x^6.
- Если x = 1, то g(f(x)) = 1.
Таким образом, окончательный ответ:
g(f(x)) = { -8x^3 + 2, если x < -1; x^6, если -1 <= x < 1; 1, если x = 1 }.