Решение: Доказать, что 1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = n².
Шаг неполной индукции:
1. **База индукции**: Проверим, что утверждение верно для n = 1.
— Левую часть: 1 = 1.
— Правую часть: 1² = 1.
— Утверждение верно для n = 1.
2. **Шаг индукции**: Предположим, что утверждение верно для n = k, т.е. 1 + 3 + 5 + … + (2k — 1) = k². Это наше предположение индукции.
3. **Докажем, что утверждение верно для n = k + 1**:
— Рассмотрим сумму для n = k + 1:
1 + 3 + 5 + … + (2k — 1) + (2(k + 1) — 1).
— По предположению индукции, мы знаем, что 1 + 3 + 5 + … + (2k — 1) = k².
— Теперь добавим (2(k + 1) — 1) к обеим сторонам:
k² + (2(k + 1) — 1).
— Упростим правую часть:
k² + (2k + 2 — 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)².
4. Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для n = k, то оно верно и для n = k + 1.
5. **Заключение**: Поскольку база индукции верна и шаг индукции выполнен, по принципу математической индукции утверждение 1 + 3 + 5 + … + (2n — 1) = n² верно для всех натуральных n.