Решение:
1. Дана функция f(x) = (x + 1) / (x + 2) и интервал [-5; -2.5].
2. Нам нужно исследовать функцию на данном интервале, а также найти ее значения на границах интервала.
3. Подставим границы интервала в функцию:
— Для x = -5:
f(-5) = (-5 + 1) / (-5 + 2) = -4 / -3 = 4/3.
— Для x = -2.5:
f(-2.5) = (-2.5 + 1) / (-2.5 + 2) = -1.5 / -0.5 = 3.
4. Теперь найдем производную функции, чтобы определить, есть ли у нее экстремумы на интервале:
f'(x) = ( (x + 2) * 1 — (x + 1) * 1 ) / (x + 2)^2 = (x + 2 — x — 1) / (x + 2)^2 = 1 / (x + 2)^2.
5. Производная f'(x) > 0 для всех x, где x + 2 != 0, то есть для всех x > -2. Таким образом, функция возрастает на интервале [-5; -2.5].
6. Поскольку функция возрастает, значение функции на интервале будет максимальным на правой границе и минимальным на левой границе.
7. Минимальное значение на интервале: f(-5) = 4/3.
8. Максимальное значение на интервале: f(-2.5) = 3.
9. Таким образом, значения функции на интервале [-5; -2.5] варьируются от 4/3 до 3.
Ответ: Минимальное значение f(x) на интервале [-5; -2.5] равно 4/3, максимальное значение равно 3.