Решение:
1. Дано выражение F(x) = (x — 3) / (3^(x + 4) — 9).
2. Начнем с упрощения знаменателя: 3^(x + 4) — 9.
3. Заметим, что 9 можно записать как 3^2. Тогда знаменатель можно переписать как 3^(x + 4) — 3^2.
4. Теперь применим формулу разности квадратов: a^2 — b^2 = (a — b)(a + b), где a = 3^(x + 4) и b = 3.
5. Таким образом, 3^(x + 4) — 9 = (3^(x + 4) — 3)(3^(x + 4) + 3).
6. Теперь подставим это в F(x): F(x) = (x — 3) / ((3^(x + 4) — 3)(3^(x + 4) + 3)).
7. Мы видим, что в числителе у нас (x — 3), а в знаменателе (3^(x + 4) — 3).
8. Если x = 3, то числитель равен 0, и знаменатель тоже равен 0, что приводит к неопределенности 0/0.
9. Чтобы разобраться с этой неопределенностью, применим правило Лопиталя или попробуем упростить дробь.
10. Найдем предел F(x) при x стремящемся к 3.
11. Для этого найдем производные числителя и знаменателя:
— Производная числителя (x — 3) равна 1.
— Производная знаменателя (3^(x + 4) — 9) равна 3^(x + 4) * ln(3).
12. Теперь применим правило Лопиталя: lim (x -> 3) F(x) = lim (x -> 3) (1) / (3^(x + 4) * ln(3)).
13. Подставим x = 3 в производную знаменателя: 3^(3 + 4) * ln(3) = 3^7 * ln(3).
14. Таким образом, предел равен 1 / (3^7 * ln(3)).
15. Теперь можем записать окончательный ответ: F(3) = 1 / (3^7 * ln(3)).
Ответ: F(3) = 1 / (3^7 * ln(3)).