Решение:
1. **Определение функции**: Рассмотрим функцию y = (x — 1/2)^2 * (x + 1)^4.
2. **Нахождение нулей функции**: Для нахождения нулей функции приравняем y к нулю:
(x — 1/2)^2 * (x + 1)^4 = 0.
Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
— (x — 1/2)^2 = 0, что дает x = 1/2 (двойной корень).
— (x + 1)^4 = 0, что дает x = -1 (четверной корень).
Таким образом, нули функции: x = 1/2 (двойной корень) и x = -1 (четверной корень).
3. **Определение знаков функции**:
— Для x < -1: оба множителя (x - 1/2)^2 и (x + 1)^4 положительны, следовательно, y > 0.
— Для -1 < x < 1/2: (x - 1/2)^2 положительно, (x + 1)^4 положительно, следовательно, y > 0.
— Для x = -1: y = 0.
— Для x = 1/2: y = 0.
— Для x > 1/2: оба множителя положительны, следовательно, y > 0.
4. **Анализ поведения функции**:
— При x = -1 функция имеет четверной корень, что означает, что график касается оси x и не пересекает её.
— При x = 1/2 функция имеет двойной корень, что означает, что график касается оси x и также не пересекает её.
5. **Нахождение производной**: Найдем производную функции для определения экстремумов.
Используем правило произведения:
y’ = 2(x — 1/2)(x + 1)^4 + (x — 1/2)^2 * 4(x + 1)^3.
Упростим:
y’ = (x + 1)^3 * [2(x — 1/2)(x + 1) + 4(x — 1/2)^2].
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю.
6. **Нахождение критических точек**:
— y’ = 0, когда (x + 1)^3 = 0 или 2(x — 1/2)(x + 1) + 4(x — 1/2)^2 = 0.
— Первое уравнение дает x = -1.
— Второе уравнение решаем:
2(x — 1/2)(x + 1) + 4(x — 1/2)^2 = 0.
Упростим и найдем другие критические точки.
7. **Анализ второго производного**: Для определения типа критических точек (максимум или минимум) можно использовать вторую производную.
8. **Построение графика**: На основе найденных нулей, знаков функции и критических точек можно построить график функции. График будет касаться оси x в точках x = -1 и x = 1/2, а также будет иметь положительные значения в остальных областях.
9. **Вывод**: Функция y = (x — 1/2)^2 * (x + 1)^4 имеет нули в точках x = -1 и x = 1/2, положительна на интервалах (-∞, -1) и (-1, 1/2) и (1/2, +∞). График функции касается оси x в этих точках и не пересекает её.