Решение:
1) Для функции f(t) = 3t^3 + cos(t) найдем преобразование Лапласа по частям.
Шаг 1: Найдем преобразование Лапласа для первого слагаемого 3t^3.
Преобразование Лапласа функции t^n равно n! / s^(n+1). В нашем случае n = 3, поэтому:
L{t^3} = 3! / s^(3+1) = 6 / s^4.
Умножаем на 3:
L{3t^3} = 3 * (6 / s^4) = 18 / s^4.
Шаг 2: Найдем преобразование Лапласа для второго слагаемого cos(t).
Преобразование Лапласа функции cos(at) равно s / (s^2 + a^2). В нашем случае a = 1:
L{cos(t)} = s / (s^2 + 1).
Шаг 3: Объединим результаты.
L{f(t)} = L{3t^3} + L{cos(t)} = 18 / s^4 + s / (s^2 + 1).
Ответ:
L{f(t)} = 18 / s^4 + s / (s^2 + 1).
—
2) Для функции f(t) = sin^2(t — 5) воспользуемся формулой для преобразования Лапласа.
Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность для sin^2(x):
sin^2(x) = (1 — cos(2x)) / 2.
Таким образом, sin^2(t — 5) = (1 — cos(2(t — 5))) / 2.
Шаг 2: Распишем функцию:
f(t) = (1 — cos(2t — 10)) / 2.
Шаг 3: Найдем преобразование Лапласа для каждого слагаемого.
L{1} = 1/s.
L{cos(2t — 10)} = e^(-10s) * (s / (s^2 + 4)) (так как a = 2).
Шаг 4: Объединим результаты.
L{f(t)} = (1/2) * L{1} — (1/2) * L{cos(2t — 10)} = (1/2)(1/s) — (1/2)(e^(-10s) * (s / (s^2 + 4))).
Ответ:
L{f(t)} = (1/2)(1/s) — (1/2)(e^(-10s) * (s / (s^2 + 4))).