Решение:
1. Дано уравнение: 2xyy’ = x^2 + y^2. Мы будем использовать замену y = ux, где u — функция от x.
2. Найдем производную y’ с учетом замены:
y’ = u + x * u’, где u’ — производная u по x.
3. Подставим y и y’ в уравнение:
2xy(u + xu’) = x^2 + (ux)^2.
4. Упростим правую часть:
2xy(u + xu’) = x^2 + u^2x^2.
5. Перепишем уравнение:
2xyu + 2x^2yu’ = x^2 + u^2x^2.
6. Разделим обе стороны на x^2 (при x ≠ 0):
2yu + 2yu’ = 1 + u^2.
7. Перепишем уравнение:
2yu’ + 2yu = 1 + u^2.
8. Переносим все члены в одну сторону:
2yu’ + 2yu — u^2 — 1 = 0.
9. Это уравнение можно рассматривать как уравнение первого порядка относительно u. Мы можем выразить u’ через u:
u’ = (u^2 + 1 — 2yu) / (2y).
10. Теперь мы можем решить это уравнение, но для упрощения давайте выразим y через u:
y = ux, тогда 2y = 2ux.
11. Подставим это в уравнение:
u’ = (u^2 + 1 — 2uxu) / (2ux).
12. Упростим:
u’ = (u^2 + 1 — 2u^2) / (2u) = (1 — u^2) / (2u).
13. Теперь мы имеем уравнение для u:
u’ = (1 — u^2) / (2u).
14. Это уравнение можно решить методом разделения переменных:
(2u) du = (1 — u^2) dx.
15. Интегрируем обе стороны:
∫(2u) du = ∫(1 — u^2) dx.
16. После интегрирования получаем:
u^2 = x — (1/3)u^3 + C, где C — константа интегрирования.
17. Теперь подставим обратно u = y/x:
(y/x)^2 = x — (1/3)(y/x)^3 + C.
18. Умножим на x^2:
y^2 = x^3 — (1/3)y^3 + Cx^2.
19. Это уравнение описывает общее решение исходного уравнения.
Таким образом, общее решение уравнения 2xyy’ = x^2 + y^2 имеет вид, который мы получили на последнем шаге.