Решение:
1. Обозначим объем цилиндрической консервной банки как V. Формула объема цилиндра: V = πr^2h, где r — радиус основания, h — высота.
2. Нам нужно минимизировать площадь поверхности цилиндра, которая определяется формулой: S = 2πr^2 + 2πrh. Здесь 2πr^2 — площадь двух оснований, а 2πrh — площадь боковой поверхности.
3. Из формулы объема выразим высоту h через радиус r: h = V / (πr^2).
4. Подставим h в формулу площади поверхности S:
S = 2πr^2 + 2πr(V / (πr^2)) = 2πr^2 + 2V/r.
5. Теперь у нас есть функция S(r), которую нужно минимизировать. Для этого найдем производную S по r и приравняем ее к нулю:
S'(r) = 4πr — 2V/r^2.
6. Приравняем производную к нулю:
4πr — 2V/r^2 = 0.
7. Умножим обе стороны на r^2, чтобы избавиться от дроби:
4πr^3 — 2V = 0.
8. Переносим 2V на другую сторону:
4πr^3 = 2V.
9. Разделим обе стороны на 4π:
r^3 = V / (2π).
10. Найдем радиус r:
r = (V / (2π))^(1/3).
11. Теперь найдем высоту h, подставив r в формулу для h:
h = V / (πr^2) = V / (π((V / (2π))^(1/3))^2).
12. Упростим h:
h = V / (π(V^(2/3) / (2π)^(2/3))) = (2^(2/3) * V^(1/3)) / π^(1/3).
13. Теперь найдем соотношение h/r:
h/r = ((2^(2/3) * V^(1/3)) / π^(1/3)) / ((V / (2π))^(1/3)) = (2^(2/3) * V^(1/3) * (2π)^(1/3)) / (π^(1/3) * V^(1/3)).
14. Упростим:
h/r = 2^(2/3) * 2^(1/3) = 2.
Таким образом, соотношение между высотой и диаметром основания цилиндрической консервной банки, на изготовление которой затрачено наименьшее количество металла, равно 2:1.