Решение:
1. **Определение функций затрат и доходов**: У нас есть функции затрат C(x) = 3x² — 10x + 200 и доходов R(x) = -2x² + 100x + 50, где x — количество произведенных ноутбуков.
2. **Условие получения прибыли**: Компания получает прибыль, если доходы больше затрат, то есть R(x) > C(x).
3. **Запись неравенства**: Для нахождения количества ноутбуков, при котором компания получает прибыль, запишем неравенство:
-2x² + 100x + 50 > 3x² — 10x + 200.
4. **Перенос всех членов в одну сторону**: Преобразуем неравенство:
-2x² — 3x² + 100x + 10x + 50 — 200 > 0,
-5x² + 110x — 150 > 0.
5. **Упрощение неравенства**: Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак):
5x² — 110x + 150 < 0.
6. **Нахождение корней квадратного уравнения**: Найдем корни уравнения 5x² - 110x + 150 = 0 с помощью дискриминанта:
D = b² - 4ac = (-110)² - 4 * 5 * 150 = 12100 - 3000 = 9100.
7. **Вычисление корней**: Корни уравнения находятся по формуле:
x1,2 = (-b ± √D) / (2a).
Подставляем значения:
x1,2 = (110 ± √9100) / 10.
√9100 ≈ 95.5, тогда:
x1 ≈ (110 + 95.5) / 10 ≈ 20.55,
x2 ≈ (110 - 95.5) / 10 ≈ 1.45.
8. **Анализ знаков**: Теперь у нас есть два корня: x1 ≈ 20.55 и x2 ≈ 1.45. Мы должны определить, на каких интервалах функция 5x² - 110x + 150 < 0.
9. **Построение графика**: График параболы открывается вверх (так как коэффициент при x² положительный). Он будет меньше нуля между корнями x2 и x1. То есть, на интервале (1.45, 20.55) функция будет отрицательной.
10. **Заключение**: Чтобы компания получала прибыль, они должны производить больше 1.45 и меньше 20.55 ноутбуков в день. Поскольку количество ноутбуков должно быть целым, они должны производить от 2 до 20 ноутбуков в день.
Ответ: Компания должна производить от 2 до 20 ноутбуков в день, чтобы получать прибыль.