Решение:
Мы хотим найти предел lim x->0 (cos(x))^(1/x).
1. Начнем с того, что под пределом у нас выражение (cos(x))^(1/x). Когда x стремится к 0, cos(x) стремится к cos(0) = 1. Таким образом, мы имеем дело с выражением вида 1^(бесконечность), что является неопределенностью.
2. Чтобы решить эту неопределенность, воспользуемся логарифмом. Обозначим y = (cos(x))^(1/x). Тогда берем натуральный логарифм от обеих сторон:
ln(y) = (1/x) * ln(cos(x)).
3. Теперь найдем предел ln(y) при x стремящемся к 0:
lim x->0 ln(y) = lim x->0 (1/x) * ln(cos(x)).
4. Рассмотрим ln(cos(x)). При x стремящемся к 0, cos(x) стремится к 1, и ln(cos(x)) стремится к ln(1) = 0.
5. Используем разложение cos(x) в ряд Тейлора: cos(x) = 1 — x^2/2 + O(x^4). Тогда:
ln(cos(x)) ≈ ln(1 — x^2/2) ≈ -x^2/2 (для малых x, используя разложение ln(1 + u) ≈ u).
6. Теперь подставим это в предел:
lim x->0 (1/x) * ln(cos(x)) ≈ lim x->0 (1/x) * (-x^2/2) = lim x->0 (-x/2) = 0.
7. Таким образом, мы получили, что lim x->0 ln(y) = 0. Это означает, что y стремится к e^0 = 1.
8. В итоге, мы имеем:
lim x->0 (cos(x))^(1/x) = 1.
Ответ: 1.