Решение:
1. Начнем с подстановки x = 3 в выражение lim(x->3)((3x^2-27)(x^(-3/2)+42))/(x^2-10x+21).
2. Подставим x = 3 в числитель:
— 3x^2 — 27 = 3(3^2) — 27 = 3(9) — 27 = 27 — 27 = 0.
— x^(-3/2) + 42 = 3^(-3/2) + 42 = 1/(3^(3/2)) + 42 = 1/(sqrt(27)) + 42 = 1/(3sqrt(3)) + 42.
3. Теперь подставим x = 3 в знаменатель:
— x^2 — 10x + 21 = 3^2 — 10(3) + 21 = 9 — 30 + 21 = 0.
4. Мы получили неопределенность 0/0, поэтому нужно упростить выражение.
5. Упростим числитель:
— 3x^2 — 27 = 3(x^2 — 9) = 3(x — 3)(x + 3).
6. Упростим знаменатель:
— x^2 — 10x + 21 = (x — 3)(x — 7).
7. Теперь подставим упрощенные выражения в предел:
lim(x->3)((3(x — 3)(x + 3)(x^(-3/2)+42))/((x — 3)(x — 7))).
8. Мы можем сократить (x — 3) в числителе и знаменателе:
lim(x->3)(3(x + 3)(x^(-3/2)+42)/(x — 7)).
9. Теперь подставим x = 3 в упрощенное выражение:
— Числитель: 3(3 + 3)(3^(-3/2) + 42) = 3(6)(1/(3sqrt(3)) + 42).
— Знаменатель: 3 — 7 = -4.
10. Теперь вычислим числитель:
— 1/(3sqrt(3)) + 42 = 1/(3sqrt(3)) + 42 = (1 + 126sqrt(3))/(3sqrt(3)).
— Умножаем: 3 * 6 * (1 + 126sqrt(3))/(3sqrt(3)) = 6(1 + 126sqrt(3))/sqrt(3).
11. Теперь подставим в предел:
lim(x->3)(6(1 + 126sqrt(3))/(3(-4sqrt(3)))) = -1/2(1 + 126sqrt(3)).
12. Таким образом, предел равен:
— (6(1 + 126sqrt(3)))/(-12sqrt(3)) = -1/2(1 + 126sqrt(3)).
Ответ: -1/2(1 + 126sqrt(3)).