Решение:
1. Найдем точки пересечения кривых x = 8 — y^2 и x = -2y. Для этого приравняем их:
8 — y^2 = -2y.
2. Переносим все в одну сторону:
y^2 — 2y — 8 = 0.
3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.
4. Находим корни уравнения:
y1 = (2 + sqrt(36)) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4,
y2 = (2 — sqrt(36)) / 2 = (2 — 6) / 2 = -2.
5. Теперь найдем соответствующие значения x для y = 4 и y = -2:
Для y = 4: x = 8 — 4^2 = 8 — 16 = -8.
Для y = -2: x = 8 — (-2)^2 = 8 — 4 = 4.
6. Таким образом, точки пересечения: (-8, 4) и (4, -2).
7. Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого определим интеграл от верхней функции до нижней функции по y от -2 до 4.
8. Верхняя функция: x = 8 — y^2, нижняя функция: x = -2y.
9. Площадь S вычисляется по формуле:
S = ∫[y=-2 to y=4] ((8 — y^2) — (-2y)) dy
= ∫[y=-2 to y=4] (8 — y^2 + 2y) dy.
10. Вычислим интеграл:
S = ∫[y=-2 to y=4] (8 + 2y — y^2) dy.
11. Найдем первообразную:
∫(8 + 2y — y^2) dy = 8y + y^2 — (y^3)/3.
12. Подставим пределы интегрирования:
S = [8y + y^2 — (y^3)/3] от -2 до 4.
13. Сначала подставим y = 4:
S(4) = 8*4 + 4^2 — (4^3)/3 = 32 + 16 — 64/3 = 48 — 64/3 = (144 — 64) / 3 = 80 / 3.
14. Теперь подставим y = -2:
S(-2) = 8*(-2) + (-2)^2 — ((-2)^3)/3 = -16 + 4 + 8/3 = -12 + 8/3 = (-36 + 8) / 3 = -28 / 3.
15. Теперь найдем разность:
S = S(4) — S(-2) = (80/3) — (-28/3) = (80/3) + (28/3) = (108/3) = 36.
16. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями x = 8 — y^2 и x = -2y, равна 36.
Ответ: Площадь фигуры равна 36.