Решение:
1. Найдем первую производную функции y = x * ln(x). Используем правило произведения:
y’ = u’v + uv’, где u = x и v = ln(x).
— u’ = 1
— v’ = 1/x
Подставляем:
y’ = (1)(ln(x)) + (x)(1/x) = ln(x) + 1.
2. Найдем вторую производную y’:
y» = (ln(x) + 1)’.
— Производная ln(x) равна 1/x, а производная константы 1 равна 0.
Таким образом, y» = 1/x.
3. Найдем третью производную y»:
y»’ = (1/x)’.
— Используем правило производной для дроби: (1/x)’ = -1/x^2.
Таким образом, y»’ = -1/x^2.
4. Теперь вычислим y»'(1):
Подставляем x = 1 в y»’ = -1/x^2:
y»'(1) = -1/(1^2) = -1.
Ответ: y^(3)(1) = -1.