Решение:
1. Преобразуем комплексное число 12 + i3√2 в полярную форму. Для этого найдем модуль и аргумент числа.
2. Модуль z = |12 + i3√2| вычисляется по формуле:
|z| = √(a^2 + b^2), где a = 12, b = 3√2.
|z| = √(12^2 + (3√2)^2) = √(144 + 18) = √162 = 9√2.
3. Теперь найдем аргумент z. Аргумент θ = arctan(b/a) = arctan(3√2/12).
Упростим: θ = arctan(√2/4).
4. Теперь запишем z в полярной форме:
z = 9√2 (cos(θ) + i sin(θ)), где θ = arctan(√2/4).
5. Применим формулу Муавра для возведения в степень:
z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)), где r = 9√2, n = 9.
6. Вычислим r^n:
r^9 = (9√2)^9 = 9^9 * (√2)^9 = 387420489 * 8√2 = 3099363912√2.
7. Теперь найдем nθ:
nθ = 9 * arctan(√2/4).
8. Подставим значения в формулу Муавра:
z^9 = 3099363912√2 (cos(9 * arctan(√2/4)) + i sin(9 * arctan(√2/4))).
9. Для окончательного ответа можно оставить результат в полярной форме или вычислить значения косинуса и синуса, если это необходимо.
Таким образом, окончательный ответ:
(12 + i3√2)^9 = 3099363912√2 (cos(9 * arctan(√2/4)) + i sin(9 * arctan(√2/4))).