Решение:
Для нахождения интеграла функции dx/(x^2 — 3x + 3) начнем с разложения знаменателя.
1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 — 3x + 3. Для этого используем дискриминант:
D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4*1*3 = 9 — 12 = -3.
Дискриминант отрицательный, значит, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что мы можем использовать комплексные корни или оставить его в текущем виде.
2. Теперь преобразуем квадратный трёхчлен. Мы можем записать его в виде:
x^2 — 3x + 3 = (x — (3/2))^2 + (3/4).
Это делается с помощью выделения полного квадрата.
3. Теперь мы можем переписать интеграл:
∫ dx / (x^2 — 3x + 3) = ∫ dx / ((x — (3/2))^2 + (3/4)).
4. Это интеграл имеет вид ∫ dx / (u^2 + a^2), где u = x — (3/2) и a^2 = 3/4. Мы знаем, что:
∫ dx / (u^2 + a^2) = (1/a) * arctan(u/a) + C.
5. Подставим a = sqrt(3)/2:
∫ dx / ((x — (3/2))^2 + (3/4)) = (2/sqrt(3)) * arctan((2(x — (3/2))/sqrt(3))) + C.
6. Вернемся к переменной x:
= (2/sqrt(3)) * arctan((2x — 3)/sqrt(3)) + C.
Таким образом, окончательный ответ на интеграл dx/(x^2 — 3x + 3) будет:
(2/sqrt(3)) * arctan((2x — 3)/sqrt(3)) + C.