Решение:
1. Найдем производную функции y = x^3 — 15x^2 + 3. Производная функции обозначается y’ и вычисляется по правилам дифференцирования.
y’ = d/dx (x^3) — d/dx (15x^2) + d/dx (3)
y’ = 3x^2 — 30x + 0
y’ = 3x^2 — 30x.
2. Упростим производную, вынеся общий множитель:
y’ = 3(x^2 — 10x).
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
3(x^2 — 10x) = 0.
x^2 — 10x = 0.
4. Выделим общий множитель:
x(x — 10) = 0.
5. Найдем корни уравнения:
x = 0 и x = 10.
6. Теперь определим интервалы, на которых функция возрастает и убывает. Для этого рассмотрим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: (-∞, 0), (0, 10) и (10, +∞).
7. Выберем тестовые точки из каждого интервала:
— Для интервала (-∞, 0) возьмем x = -1:
y'(-1) = 3(-1)^2 — 30(-1) = 3 + 30 = 33 > 0. (функция возрастает)
— Для интервала (0, 10) возьмем x = 5:
y'(5) = 3(5)^2 — 30(5) = 75 — 150 = -75 < 0. (функция убывает)
- Для интервала (10, +∞) возьмем x = 11:
y'(11) = 3(11)^2 - 30(11) = 363 - 330 = 33 > 0. (функция возрастает)
8. Подведем итоги:
— Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (10, +∞).
— Функция убывает на интервале (0, 10).
Ответ: Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (10, +∞), убывает на интервале (0, 10).