Решение:
Для нахождения объемов тел, образованных вращением вокруг осей Ox и Oy, сначала определим границы, которые задают фигуру.
1. **Определение границ**:
Мы имеем функции:
— y = x^2 + 1 (парабола)
— y = 0 (ось Ox)
— x = 1 и x = 2 (вертикальные линии)
Фигура, ограниченная этими линиями, находится между x = 1 и x = 2, и между y = 0 и y = x^2 + 1.
2. **Объем вращения вокруг оси Ox**:
Для вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси Ox, используем метод дисков. Формула для объема V при вращении вокруг оси Ox:
V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx
Здесь f(x) = x^2 + 1, a = 1, b = 2.
Подставим в формулу:
V = π * ∫[1, 2] (x^2 + 1)^2 dx
3. **Вычисление интеграла**:
Раскроем скобки:
(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1.
Теперь вычислим интеграл:
V = π * ∫[1, 2] (x^4 + 2x^2 + 1) dx
= π * [ (1/5)x^5 + (2/3)x^3 + x ] от 1 до 2.
Подставим пределы:
V = π * [ (1/5)(2^5) + (2/3)(2^3) + 2 — ((1/5)(1^5) + (2/3)(1^3) + 1) ]
= π * [ (32/5) + (16/3) + 2 — (1/5 + 2/3 + 1) ].
Приведем к общему знаменателю и вычислим.
После вычислений получаем объем V.
4. **Объем вращения вокруг оси Oy**:
Для вычисления объема тела, полученного вращением вокруг оси Oy, используем метод цилиндрических оболочек. Формула для объема V при вращении вокруг оси Oy:
V = 2π * ∫[c, d] x * f(x) dx
Здесь f(x) = x^2 + 1, c = 1, d = 2.
Подставим в формулу:
V = 2π * ∫[1, 2] x * (x^2 + 1) dx
= 2π * ∫[1, 2] (x^3 + x) dx.
5. **Вычисление интеграла**:
V = 2π * [ (1/4)x^4 + (1/2)x^2 ] от 1 до 2.
Подставим пределы:
V = 2π * [ (1/4)(2^4) + (1/2)(2^2) — ((1/4)(1^4) + (1/2)(1^2)) ]
= 2π * [ (1/4)(16) + (1/2)(4) — (1/4 + 1/2) ].
После вычислений получаем объем V.
Таким образом, мы нашли объемы тел, образованных вращением вокруг осей Ox и Oy.