Решение:
1. Найдем область определения функции y = arcsin(5 — 2x^3).
Функция arcsin(x) определена для x из интервала [-1, 1]. Следовательно, для функции y = arcsin(5 — 2x^3) необходимо, чтобы аргумент 5 — 2x^3 находился в этом интервале:
-1 <= 5 - 2x^3 <= 1.
Разделим это неравенство на два:
1) 5 - 2x^3 >= -1
2) 5 — 2x^3 <= 1.
Решим первое неравенство:
5 + 1 >= 2x^3
6 >= 2x^3
3 >= x^3
x^3 <= 3
x <= 3^(1/3).
Решим второе неравенство:
5 - 1 <= 2x^3
4 <= 2x^3
2 <= x^3
x >= 2^(1/3).
Таким образом, область определения функции y = arcsin(5 — 2x^3) будет:
2^(1/3) <= x <= 3^(1/3).
2. Теперь вычислим пределы.
a) lim (x -> -1) (x + 4) / (x — 5).
Подставим x = -1 в выражение:
(-1 + 4) / (-1 — 5) = 3 / (-6) = -1/2.
Таким образом, lim (x -> -1) (x + 4) / (x — 5) = -1/2.
b) lim (x -> 0) (1 — cos(10x)) / x^3.
Используем известное приближение для cos(x): 1 — cos(x) ≈ x^2 / 2 при x близком к 0.
Подставим 10x вместо x:
1 — cos(10x) ≈ (10x)^2 / 2 = 100x^2 / 2 = 50x^2.
Теперь подставим это в предел:
lim (x -> 0) (50x^2) / x^3 = lim (x -> 0) 50 / x = ∞.
Таким образом, lim (x -> 0) (1 — cos(10x)) / x^3 = ∞.
Ответы:
1. Область определения: 2^(1/3) <= x <= 3^(1/3).
2. a) -1/2.
3. b) ∞.