Решение:
а) Для уравнения касательной плоскости к поверхности z = f(x, y) = x^2 — 3*y^2 в точке М0(0, 1, -3):
1. Находим частные производные функции f(x, y):
— fx = d(f)/dx = 2*x
— fy = d(f)/dy = -6*y
2. Вычисляем значения частных производных в точке М0(0, 1):
— fx(0, 1) = 2*0 = 0
— fy(0, 1) = -6*1 = -6
3. Уравнение касательной плоскости имеет вид:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)*(x — x0) + fy(x0, y0)*(y — y0)
4. Подставляем значения:
— x0 = 0, y0 = 1, z0 = -3
— f(0, 1) = 0^2 — 3*1^2 = -3
5. Уравнение касательной плоскости:
z = -3 + 0*(x — 0) — 6*(y — 1)
z = -3 — 6*(y — 1)
z = -3 — 6y + 6
z = 3 — 6y
6. Уравнение нормали к поверхности в точке М0:
Нормаль задается вектором (fx, fy, -1):
Нормаль = (0, -6, -1)
7. Уравнение нормали можно записать в виде:
0*(x — 0) — 6*(y — 1) — 1*(z + 3) = 0
-6(y — 1) — (z + 3) = 0
-6y + 6 — z — 3 = 0
-6y — z + 3 = 0
z = -6y + 3
б) Для уравнения касательной плоскости к поверхности F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) = x*y — y*z + x*z — 1 в точке М0(1, 1, 2):
1. Находим частные производные функции F:
— Fx = d(F)/dx = y + z
— Fy = d(F)/dy = x — z
— Fz = d(F)/dz = -y + x
2. Вычисляем значения частных производных в точке М0(1, 1, 2):
— Fx(1, 1, 2) = 1 + 2 = 3
— Fy(1, 1, 2) = 1 — 2 = -1
— Fz(1, 1, 2) = -1 + 1 = 0
3. Уравнение касательной плоскости имеет вид:
Fx(x0, y0, z0)(x — x0) + Fy(x0, y0, z0)(y — y0) + Fz(x0, y0, z0)(z — z0) = 0
4. Подставляем значения:
— x0 = 1, y0 = 1, z0 = 2
— 3*(x — 1) — 1*(y — 1) + 0*(z — 2) = 0
5. Упрощаем уравнение касательной плоскости:
3x — 3 — y + 1 = 0
3x — y — 2 = 0
y = 3x — 2
6. Уравнение нормали к поверхности в точке М0:
Нормаль задается вектором (Fx, Fy, Fz):
Нормаль = (3, -1, 0)
7. Уравнение нормали можно записать в виде:
3*(x — 1) — 1*(y — 1) + 0*(z — 2) = 0
3x — 3 — y + 1 = 0
3x — y — 2 = 0
y = 3x — 2
Таким образом, мы получили уравнения касательных плоскостей и нормалей к заданным поверхностям в указанных