Решение:
Для нахождения предела числовой последовательности с общим членом xn = (2n + 1) / (n^2 + n + 2√3) при n стремящемся к бесконечности, следуем следующим шагам:
1. **Определим поведение числителя и знаменателя при n → ∞**:
— Числитель: 2n + 1. При n → ∞, этот член ведет себя как 2n.
— Знаменатель: n^2 + n + 2√3. При n → ∞, этот член ведет себя как n^2, так как n^2 доминирует над n и 2√3.
2. **Запишем предел**:
Мы можем записать предел последовательности как:
lim (n → ∞) xn = lim (n → ∞) (2n + 1) / (n^2 + n + 2√3).
3. **Упростим дробь**:
Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на n^2 (наибольший член в знаменателе):
lim (n → ∞) (2n/n^2 + 1/n^2) / (1 + 1/n + 2√3/n^2).
Это упрощается до:
lim (n → ∞) (2/n + 1/n^2) / (1 + 1/n + 2√3/n^2).
4. **Вычислим предел**:
При n → ∞, 2/n → 0, 1/n^2 → 0, 1/n → 0, и 2√3/n^2 → 0. Таким образом, предел становится:
lim (n → ∞) (0 + 0) / (1 + 0 + 0) = 0/1 = 0.
5. **Запишем окончательный ответ**:
Предел числовой последовательности xn при n стремящемся к бесконечности равен 0.
Ответ: 0.