Решение:
Для решения интеграла ∫ sin(ln(x)) dx/x мы будем использовать метод подведения под знак дифференциала. Этот метод позволяет упростить интегралы, подбирая подходящие замены переменных.
1. **Определим замену переменной**. Заметим, что в нашем интеграле присутствует ln(x). Мы можем сделать замену:
t = ln(x).
2. **Найдём производную**. Тогда, чтобы выразить dx через dt, мы находим производную:
dt/dx = 1/x, следовательно, dx = x dt = e^t dt (так как x = e^t).
3. **Подставим замену в интеграл**. Теперь подставим t в наш интеграл:
— Когда x = e^t, то dx/x = e^t dt/e^t = dt.
— Также ln(x) = t.
Таким образом, наш интеграл преобразуется:
∫ sin(ln(x)) dx/x = ∫ sin(t) dt.
4. **Интегрируем**. Теперь мы можем легко интегрировать sin(t):
∫ sin(t) dt = -cos(t) + C, где C — произвольная константа интегрирования.
5. **Вернёмся к переменной x**. Теперь нам нужно выразить результат через x. Мы знаем, что t = ln(x), поэтому:
-cos(t) = -cos(ln(x)).
6. **Записываем окончательный ответ**. Таким образом, окончательный ответ на наш интеграл будет:
∫ sin(ln(x)) dx/x = -cos(ln(x)) + C.
Итак, мы успешно решили интеграл, используя метод подведения под знак дифференциала и замену переменных.