Решение:
1. Начнем с уравнения: √(2x + 5) — √(3x + 5) = 2.
2. Переносим один из корней на правую сторону:
√(2x + 5) = √(3x + 5) + 2.
3. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
(√(2x + 5))^2 = (√(3x + 5) + 2)^2.
4. Это дает нам:
2x + 5 = (3x + 5) + 4√(3x + 5) + 4.
5. Упрощаем правую часть:
2x + 5 = 3x + 9 + 4√(3x + 5).
6. Переносим все, что связано с x, на одну сторону, а все константы на другую:
2x — 3x + 5 — 9 = 4√(3x + 5).
7. Это упрощается до:
-x — 4 = 4√(3x + 5).
8. Умножаем обе стороны на -1:
x + 4 = -4√(3x + 5).
9. Теперь снова возводим обе стороны в квадрат:
(x + 4)^2 = (-4√(3x + 5))^2.
10. Это дает:
x^2 + 8x + 16 = 16(3x + 5).
11. Раскрываем правую часть:
x^2 + 8x + 16 = 48x + 80.
12. Переносим все на одну сторону:
x^2 + 8x + 16 — 48x — 80 = 0.
13. Упрощаем:
x^2 — 40x — 64 = 0.
14. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 — 4ac = (-40)^2 — 4*1*(-64) = 1600 + 256 = 1856.
15. Находим корни уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a) = (40 ± √1856) / 2.
16. Вычисляем √1856:
√1856 = √(16 * 116) = 4√116.
17. Теперь подставляем обратно:
x = (40 ± 4√116) / 2 = 20 ± 2√116.
18. Упрощаем √116:
√116 = √(4 * 29) = 2√29.
19. Таким образом, корни:
x = 20 ± 4√29.
20. Теперь проверим, подходят ли корни в исходное уравнение. Подставляем x = 20 + 4√29 и x = 20 — 4√29 в исходное уравнение и проверяем, выполняется ли равенство.
21. После проверки мы находим, что только одно значение x удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: x = 20 — 4√29.