Решение:
Для решения интеграла Int e^x / (1 + e^x) dx методом замены, начнем с подбора подходящей замены.
1. **Выбор замены**:
Пусть u = 1 + e^x. Тогда производная u по x будет:
du/dx = e^x, откуда du = e^x dx.
2. **Замена переменных**:
Теперь мы можем выразить dx через du:
dx = du / e^x.
Но так как e^x = u — 1, мы можем подставить это в выражение для dx:
dx = du / (u — 1).
3. **Подстановка в интеграл**:
Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
Int e^x / (1 + e^x) dx = Int (u — 1) / u * (du / (u — 1)) = Int (1 / u) du.
4. **Интегрирование**:
Интеграл Int (1 / u) du равен ln|u| + C, где C — произвольная константа.
5. **Обратная замена**:
Теперь вернемся к переменной x. Напомним, что u = 1 + e^x. Подставим обратно:
ln|u| + C = ln|1 + e^x| + C.
Таким образом, окончательный ответ:
Int e^x / (1 + e^x) dx = ln(1 + e^x) + C.