Решение:
1. **Определение функции**: Мы рассматриваем функцию y = x^2 / (x^2 — 1).
2. **Определение области определения**: Найдем, при каких значениях x функция не определена. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:
x^2 — 1 = 0
x^2 = 1
x = ±1.
Таким образом, функция не определена в точках x = 1 и x = -1.
3. **Нахождение асимптот**:
— Вертикальные асимптоты: они находятся в точках, где функция не определена, то есть в x = 1 и x = -1.
— Горизонтальная асимптота: для нахождения горизонтальной асимптоты рассмотрим предел функции при x стремящемся к бесконечности:
lim (x -> ∞) y = lim (x -> ∞) (x^2 / (x^2 — 1)) = lim (x -> ∞) (1 / (1 — 1/x^2)) = 1.
Таким образом, горизонтальная асимптота y = 1.
4. **Нахождение нулей функции**: Найдем, при каких значениях x функция равна нулю:
x^2 = 0
x = 0.
Таким образом, ноль функции находится в точке x = 0.
5. **Исследование знака функции**: Рассмотрим интервалы, определенные вертикальными асимптотами и нулем функции:
— Интервал (-∞, -1): y > 0 (положительное значение).
— Интервал (-1, 0): y < 0 (отрицательное значение).
- Интервал (0, 1): y < 0 (отрицательное значение).
- Интервал (1, ∞): y > 0 (положительное значение).
6. **Построение графика**:
— Отметим вертикальные асимптоты в x = -1 и x = 1.
— Отметим горизонтальную асимптоту y = 1.
— Отметим ноль функции в x = 0.
— На интервале (-∞, -1) функция положительна, на интервале (-1, 0) и (0, 1) отрицательна, на интервале (1, ∞) положительна.
7. **Рисование графика**: Начнем с вертикальных асимптот, затем добавим горизонтальную асимптоту. Отметим ноль функции и знаки на интервалах. График будет подходить к вертикальным асимптотам, пересекать ось x в нуле и стремиться к горизонтальной асимптоте y = 1 при x стремящемся к бесконечности.
Таким образом, мы построили график функции y = x^2 / (x^2 — 1) с учетом всех найденных характеристик.