Решение:
Для решения задачи мы будем использовать различные свойства прямых, такие как угловые коэффициенты и векторы нормали.
а) Параллельно прямой 2x − 3y + 1 = 0.
1. Приведем уравнение к виду y = kx + b, чтобы найти угловой коэффициент.
2x — 3y + 1 = 0
=> 3y = 2x + 1
=> y = (2/3)x + 1/3.
Угловой коэффициент k = 2/3.
2. Прямая, параллельная данной, будет иметь тот же угловой коэффициент k = 2/3.
3. Используем точку A(-5, 1) для нахождения уравнения прямой:
y — 1 = (2/3)(x + 5).
Упрощаем:
y — 1 = (2/3)x + (10/3)
=> y = (2/3)x + (10/3) + 1
=> y = (2/3)x + (13/3).
4. Вектор нормали N = (2, -3) (коэффициенты при x и y).
Направляющий вектор s = (3, 2) (перпендикуляр к N).
Угловой коэффициент k = 2/3.
Ответ: y = (2/3)x + (13/3), N = (2, -3), s = (3, 2), k = 2/3.
б) Перпендикулярно прямой x — 1 — 3 = y — 2 — 2.
1. Приведем уравнение к виду y = kx + b:
x — 1 — 3 = y — 2 — 2
=> y = x — 1 + 3 + 2
=> y = x + 4.
Угловой коэффициент k = 1.
2. Перпендикулярная прямая будет иметь угловой коэффициент k’ = -1/k = -1.
3. Используем точку A(-5, 1):
y — 1 = -1(x + 5).
Упрощаем:
y — 1 = -x — 5
=> y = -x — 4.
4. Вектор нормали N = (1, 1) (коэффициенты при x и y).
Направляющий вектор s = (1, -1) (перпендикуляр к N).
Угловой коэффициент k = -1.
Ответ: y = -x — 4, N = (1, 1), s = (1, -1), k = -1.
в) Под углом 30° к прямой y + 4 = 0.
1. Прямая y + 4 = 0 — это горизонтальная прямая, ее угловой коэффициент k = 0.
2. Угловой коэффициент прямой, наклоненной под углом 30°, будет k = tan(30°) = 1/√3.
3. Используем точку A(-5, 1):
y — 1 = (1/√3)(x + 5).
Упрощаем:
y — 1 = (1/√3)x + 5/√3
=> y = (1/√3)x + 5/√3 + 1
=> y = (1/√3)x + (5/√3 + 3/√3)
=> y = (1/√3)x + (8/√3).
4. Вектор нормали N = (1/√3, -1) (коэффициенты при x и y).
Направляющий вектор s = (√3, 1) (перпендикуляр к N).
Угловой коэффициент k = 1/√3.
Ответ: y = (1/√3)x + (8/√3), N = (1/√3, -1), s = (√3, 1), k = 1/√3.
г) И точку B(−2; −3).
1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(-5, 1) и B(-2, -3):
k = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (-