Решение:
1. Начнем с уравнения: √(2x + 5) + √(5x — 6) = 5.
2. Переносим один из корней на другую сторону уравнения:
√(2x + 5) = 5 — √(5x — 6).
3. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(√(2x + 5))^2 = (5 — √(5x — 6))^2.
4. Это дает нам:
2x + 5 = 25 — 10√(5x — 6) + (5x — 6).
5. Упростим правую часть:
2x + 5 = 25 — 6 + 5x — 10√(5x — 6),
2x + 5 = 19 + 5x — 10√(5x — 6).
6. Переносим все члены с x на одну сторону, а свободные на другую:
2x — 5x + 5 — 19 = -10√(5x — 6),
-3x — 14 = -10√(5x — 6).
7. Умножим обе стороны на -1:
3x + 14 = 10√(5x — 6).
8. Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:
(3x + 14)^2 = (10√(5x — 6))^2.
9. Это дает:
9x^2 + 84x + 196 = 100(5x — 6).
10. Упрощаем правую часть:
9x^2 + 84x + 196 = 500x — 600.
11. Переносим все на одну сторону:
9x^2 + 84x + 196 — 500x + 600 = 0,
9x^2 — 416x + 796 = 0.
12. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 — 4ac = (-416)^2 — 4 * 9 * 796.
13. Вычисляем D:
D = 173056 — 28656 = 144400.
14. Находим корни уравнения:
x = (-b ± √D) / (2a) = (416 ± √144400) / 18.
15. Вычисляем √144400 = 380, тогда:
x1 = (416 + 380) / 18 = 796 / 18 = 44.222,
x2 = (416 — 380) / 18 = 36 / 18 = 2.
16. Проверяем корни в исходном уравнении:
Для x1 = 44.222:
√(2*44.222 + 5) + √(5*44.222 — 6) ≈ 5 (проверка не проходит).
Для x2 = 2:
√(2*2 + 5) + √(5*2 — 6) = √(4 + 5) + √(10 — 6) = √9 + √4 = 3 + 2 = 5 (проверка проходит).
17. Таким образом, единственный корень уравнения:
x = 2.
Ответ: x = 2.