Решение:
Данная задача относится к биномиальному распределению, где вероятность успешной сдачи экзамена p = 0,7, а вероятность неуспешной сдачи экзамена q = 1 — p = 0,3. Количество экзаменов n = 5.
Формула для вычисления вероятности k успешных исходов из n испытаний выглядит так:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),
где C(n, k) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n — k)!).
Теперь решим задачи по пунктам.
а) Найти вероятность успешной сдачи трех экзаменов (k = 3):
1. Вычисляем биномиальный коэффициент C(5, 3):
C(5, 3) = 5! / (3! * (5 — 3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.
2. Вычисляем p^3 и q^(5-3):
p^3 = 0,7^3 = 0,343,
q^(5-3) = 0,3^2 = 0,09.
3. Подставляем значения в формулу:
P(X = 3) = C(5, 3) * p^3 * q^(5-3) = 10 * 0,343 * 0,09 = 0,3087.
Ответ: Вероятность успешной сдачи трех экзаменов равна 0,3087.
б) Найти вероятность успешной сдачи двух экзаменов (k = 2):
1. Вычисляем биномиальный коэффициент C(5, 2):
C(5, 2) = 5! / (2! * (5 — 2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.
2. Вычисляем p^2 и q^(5-2):
p^2 = 0,7^2 = 0,49,
q^(5-2) = 0,3^3 = 0,027.
3. Подставляем значения в формулу:
P(X = 2) = C(5, 2) * p^2 * q^(5-2) = 10 * 0,49 * 0,027 = 0,1323.
Ответ: Вероятность успешной сдачи двух экзаменов равна 0,1323.
в) Найти вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов:
1. Это означает, что нужно найти P(X >= 2). Мы можем использовать дополнение:
P(X >= 2) = 1 — P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)).
2. Сначала найдем P(X = 0):
C(5, 0) = 1,
p^0 = 1,
q^5 = 0,3^5 = 0,00243.
P(X = 0) = 1 * 1 * 0,00243 = 0,00243.
3. Теперь найдем P(X = 1):
C(5, 1) = 5,
p^1 = 0,7,
q^4 = 0,3^4 = 0,0081.
P(X = 1) = 5 * 0,7 * 0,0081 = 0,02835.
4. Теперь подставим значения в формулу:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078.
5. Теперь найдем P(X >= 2):
P(X >= 2) = 1 — P(X < 2) = 1 - 0,03078 = 0,96922.
Ответ: Вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов равна 0,96922.