Решение:
Для вычисления интеграла I = ∫(dx/(2 + 5*x^2)) мы можем воспользоваться методом подстановки и известными формулами интегрирования.
Шаг 1: Приведем интеграл к стандартному виду. Для этого выделим коэффициент перед x^2. Мы можем вынести 2 за скобки:
I = ∫(dx/(2(1 + (5/2)*x^2))) = (1/2) * ∫(dx/(1 + (5/2)*x^2))
Шаг 2: Теперь сделаем замену переменной. Пусть u = (5/2)*x^2, тогда du = 5*x dx, или dx = du/(5*x). Но нам нужно выразить x через u. Из u = (5/2)*x^2 следует, что x^2 = (2/5)*u, и x = sqrt((2/5)*u).
Шаг 3: Подставим x в выражение для dx. Мы имеем:
dx = du/(5*sqrt((2/5)*u)) = (2/5) * (1/sqrt(10*u)) du.
Шаг 4: Теперь подставим это в интеграл. У нас получится:
I = (1/2) * ∫(2/5) * (1/sqrt(10*u)) * (1/(1 + u)) du.
Шаг 5: Упростим интеграл:
I = (1/5*sqrt(10)) * ∫(1/(1 + u)) du.
Шаг 6: Интеграл ∫(1/(1 + u)) du равен ln|1 + u| + C, где C — произвольная константа.
Шаг 7: Подставим обратно u = (5/2)*x^2:
I = (1/5*sqrt(10)) * (ln|1 + (5/2)*x^2|) + C.
Шаг 8: Упростим окончательный ответ:
I = (1/(5*sqrt(10))) * ln|1 + (5/2)*x^2| + C.
Таким образом, ответ:
∫(dx/(2 + 5*x^2)) = (1/(5*sqrt(10))) * ln|1 + (5/2)*x^2| + C.