Решение:
Для начала, чтобы выяснить, какая из систем векторов линейно независима, мы можем составить матрицу из векторов и проверить ее ранг. Если ранг матрицы равен количеству векторов, то они линейно независимы.
а) Рассмотрим систему векторов a1, a2, a3:
a1 = (6; 3; 0)
a2 = (1; -1; 2)
a3 = (3; 3; -2)
Составим матрицу A из этих векторов:
A = | 6 1 3 |
| 3 -1 3 |
| 0 2 -2 |
Теперь найдем ранг этой матрицы. Для этого приведем ее к ступенчатому виду.
1. Умножим первую строку на 1/6:
| 1 1/6 1/2 |
| 3 -1 3 |
| 0 2 -2 |
2. Вычтем 3 * первую строку из второй строки:
| 1 1/6 1/2 |
| 0 -2/3 3/2 |
| 0 2 -2 |
3. Умножим вторую строку на -3/2:
| 1 1/6 1/2 |
| 0 1 -1 |
| 0 2 -2 |
4. Вычтем 2 * вторую строку из третьей строки:
| 1 1/6 1/2 |
| 0 1 -1 |
| 0 0 0 |
Теперь видно, что ранг матрицы A равен 2 (две ненулевые строки). Поскольку у нас 3 вектора, а ранг равен 2, то векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.
Теперь разложим вектор p = (13; 7; 1) по векторному базису a1 и a2. Мы ищем такие коэффициенты x и y, что:
x * a1 + y * a2 = p
Это можно записать как:
x * (6; 3; 0) + y * (1; -1; 2) = (13; 7; 1)
Составим систему уравнений:
1) 6x + y = 13
2) 3x — y = 7
3) 0x + 2y = 1
Решим систему. Из третьего уравнения получаем:
y = 1/2
Подставим y в первое уравнение:
6x + 1/2 = 13
6x = 13 — 1/2
6x = 25/2
x = 25/12
Теперь проверим, подходит ли x и y ко второму уравнению:
3 * (25/12) — (1/2) = 7
75/12 — 6/12 = 69/12, что не равно 7.
Это значит, что мы не можем разложить вектор p по векторному базису a1 и a2.
Теперь рассмотрим систему векторов b1, b2, b3:
b1 = (2; 1; 0)
b2 = (3; 0; -1)
b3 = (0; 3; 4)
Составим матрицу B из этих векторов:
B = | 2 3 0 |
| 1 0 3 |
| 0 -1 4 |
Теперь найдем ранг этой матрицы.
1. Умножим первую строку на 1/2:
| 1 3/2 0 |
| 1 0 3 |
| 0 -1 4 |
2. Вычтем первую строку из второй:
| 1 3/2 0 |
| 0 -3/2 3 |
| 0 -1 4 |
3. Умножим вторую строку на -2/3:
| 1 3/2 0 |
| 0 1 -2 |
| 0 -1 4 |
4. Вычтем вторую строку из третьей:
| 1