Решение:
1. Начнем с неравенства: x^2 — 8x + 15 >= 0.
2. Приведем левую часть неравенства к стандартному виду. Для этого найдем корни квадратного уравнения x^2 — 8x + 15 = 0.
3. Используем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b^2 — 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -8, c = 15.
4. Вычислим дискриминант: D = b^2 — 4ac = (-8)^2 — 4 * 1 * 15 = 64 — 60 = 4.
5. Теперь найдем корни:
x1 = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 10 / 2 = 5,
x2 = (8 — √4) / 2 = (8 — 2) / 2 = 6 / 2 = 3.
6. Таким образом, корни уравнения: x1 = 5 и x2 = 3.
7. Теперь мы можем разложить квадратный трёхчлен: x^2 — 8x + 15 = (x — 3)(x — 5).
8. Теперь запишем неравенство в разложенном виде: (x — 3)(x — 5) >= 0.
9. Найдем нули функции: x = 3 и x = 5. Эти точки делят числовую прямую на три интервала: (-∞, 3), (3, 5), (5, +∞).
10. Теперь проверим знак произведения (x — 3)(x — 5) на каждом из интервалов:
— Для интервала (-∞, 3): выберем x = 0. (0 — 3)(0 — 5) = 15 > 0.
— Для интервала (3, 5): выберем x = 4. (4 — 3)(4 — 5) = -1 < 0.
- Для интервала (5, +∞): выберем x = 6. (6 - 3)(6 - 5) = 3 > 0.
11. Теперь определим, где неравенство выполняется: (x — 3)(x — 5) >= 0 выполняется на интервалах (-∞, 3] и [5, +∞).
12. Включаем границы, так как в них неравенство допускает равенство: x = 3 и x = 5.
13. Таким образом, окончательный ответ: x ∈ (-∞, 3] ∪ [5, +∞).