Решение:
1. У нас есть система уравнений:
1) x² + y² = 50
2) xy = 7
2. Из второго уравнения выразим y через x:
y = 7/x
3. Подставим это выражение для y в первое уравнение:
x² + (7/x)² = 50
4. Упростим уравнение:
x² + 49/x² = 50
5. Умножим все уравнение на x², чтобы избавиться от дроби:
x^4 + 49 = 50x²
6. Перепишем уравнение в стандартной форме:
x^4 — 50x² + 49 = 0
7. Обозначим z = x². Тогда уравнение становится:
z² — 50z + 49 = 0
8. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b² — 4ac = (-50)² — 4*1*49 = 2500 — 196 = 2304
9. Найдем корни уравнения:
z1,2 = (50 ± √2304) / 2
√2304 = 48, следовательно:
z1 = (50 + 48) / 2 = 49
z2 = (50 — 48) / 2 = 1
10. Теперь вернемся к переменной x:
x² = 49 => x = ±7
x² = 1 => x = ±1
11. Найдем соответствующие значения y для каждого x:
1) Если x = 7, то y = 7/7 = 1
2) Если x = -7, то y = 7/(-7) = -1
3) Если x = 1, то y = 7/1 = 7
4) Если x = -1, то y = 7/(-1) = -7
12. Таким образом, у нас есть 4 пары (x, y):
1) (7, 1)
2) (-7, -1)
3) (1, 7)
4) (-1, -7)
Ответ: (7, 1), (-7, -1), (1, 7), (-1, -7)